Hvad er log-normal distribution?
En log-normalfordeling er en kontinuerlig fordeling af tilfældige variabler, hvis logaritmer distribueres normalt. Med andre ord genereres den lognormale fordeling af funktionen af e x , hvor x (tilfældig variabel) formodes at være normalfordelt. I den naturlige logaritme e x er x, logaritmerne lognormally stokastiske variable normalfordelt.
En variabel X fordeles normalt, hvis Y = ln (X), hvor ln er den naturlige logaritme.
- Y = e x
- Lad os antage en naturlig logaritme på begge sider.
- lnY = ln e x, hvilket resulterer i lnY = x
Derfor kan vi sige, at hvis X er en tilfældig variabel har en normalfordeling, så har Y en lognormal fordeling.
Log-normal distributionsformel
Formlen for sandsynlighedstæthedsfunktionen for den lognormale fordeling er defineret af middelværdien μ og standardafvigelsen σ, som er angivet med:
Parametre for log-normalfordeling
Log-normalfordelingen er kendetegnet ved følgende tre parametre:
- σ , standardafvigelsen for distributionsloggen, som også kaldes formparameteren. Formparameteren påvirker generelt den overordnede form af den lognormale fordeling, men det påvirker ikke grafens placering og højde.
- m , medianen for fordelingen, også kendt som skalaparameteren.
- Θ , placeringsparameteren, der bruges til at lokalisere grafen på x-aksen.
Gennemsnittet og standardafvigelsen er to hovedparametre for den lognormale fordeling, og det defineres eksplicit af disse to parametre.
Følgende figur illustrerer normalfordeling og lognormalfordeling.
Fra ovenstående figur kunne vi bemærke følgende funktioner i log-normalfordelingen.
- Log-normale fordelinger er positivt skæv til højre på grund af lavere middelværdier og højere varians i tilfældige variabler i betragtning.
- Den lognormale fordeling er altid afgrænset nedenfra af 0, da det hjælper med at modellere aktivpriserne, som ikke forventes at have negative værdier.
- Den lognormale fordeling er skævt positivt med et stort antal små værdier og inkluderer et par hovedværdier, hvilket resulterer i, at gennemsnit ofte er større end tilstand.
Fra ovenstående figur kunne vi observere, at lognormalfordeling er afgrænset af 0, og den er positivt skæv mod højre, hvilket kunne bemærkes af sin lange hale mod højre. Disse to observationer betragtes som de vigtigste egenskaber ved lognormale fordelinger. I praksis viste det sig, at lognormale fordelinger var meget nyttige i fordelingen af aktiepriser eller aktivpriser, mens normalfordeling er meget nyttig til at estimere aktivets forventede afkast over en periode.
Eksempler på log-normal distribution
Følgende er nogle eksempler, hvor log-normale distributioner kan bruges:
- Mængden af gas i energi- og petroleumsreserve.
- Volumen af mælkeproduktion.
- Mængden af nedbør.
- De potentielle liv for produktions- og industrienheder, hvis chancer for at overleve er præget af stresshastigheden.
- Omfanget af perioder, hvor der findes en infektiøs sygdom.
Anvendelse og anvendelser af log-normal distribution
Følgende er applikationer og anvendelser af log-normalfordelingen.
- Den mest anvendte og populære distribution er en normalfordeling, som er normalt fordelt og symmetrisk og danner en klokkeformet kurve, der har modelleret forskellige naturlige fra enkle til meget komplekse.
- Men der er tilfælde, hvor normal distribution står over for begrænsninger, hvor lognormal distribution let kan anvendes. Normalfordelingen kan overveje en negativ tilfældig variabel, s, men lognormal fordeling forudsætter kun positive tilfældige variabler.
- En af de forskellige applikationer, hvor lognormal distribution bruges i økonomi, hvor den anvendes i analysen af aktivpriserne. Det forventede afkast på aktiver er afbildet i en normalfordeling, men priserne på aktiverne er tegnet i en lognormal fordeling.
- Ved hjælp af den lognormale fordelingskurve kan vi nemt beregne den sammensatte afkast på aktiver over en periode.
- Hvis vi anvendte en normalfordeling til at beregne aktivpriserne over en periode, er der muligheder for at få afkast mindre end -100%, hvilket efterfølgende antager priserne på aktiver mindre end 0. Men hvis vi bruger lognormal fordeling til at estimere sammensætningen afkast over en periode, kan vi let afværge situationen med at få negativt afkast, da lognormal fordeling kun betragter positive tilfældige variabler.
- En prisrelativ er aktivets pris ved periodens udgang divideret med aktivets startpris, der er lig med 1 plus afkast i beholdningsperioden. For at finde slutningen af aktivet i periodekursen kan vi få det samme ved at multiplicere det med relativ pris gange den oprindelige aktivpris. Lognormal fordeling tager kun positiv værdi; derfor kan aktivprisen ved periodens udgang ikke være under 0.
Log-normal fordeling i modellering af aktiekurser
Log-normalfordelingen er blevet brugt til modellering af sandsynlighedsfordelingen af lager og mange andre aktivpriser. For eksempel har vi observeret, at lognormalt væsen vises i Black-Scholes-Merton-prisfastsættelsesmodellen, hvor der er en antagelse om, at prisen på en underliggende aktivoption er lognormalt fordelt på samme tid.
Konklusion
- Normalfordelingen er sandsynlighedsfordelingen, som siges at være den asymmetriske og klokkeformede kurve. I en normalfordeling falder 69% af resultatet inden for en standardafvigelse, og 95% falder inden for de to standardafvigelser.
- På grund af populariteten af normalfordeling er de fleste fortrolige med begrebet og anvendelsen af normalfordeling, men på det tidspunkt synes de ikke lige så fortrolige med begrebet den lognormale fordeling. Normalfordelingen kan konverteres til lognormal fordeling ved hjælp af logaritmer, som bliver det grundlæggende grundlag, da de lognormale fordelinger betragter den eneste tilfældige variabel, som normalt fordeles.
- Lognormale fordelinger kan bruges sammen med normalfordelingen. Lognormale fordelinger er resultatet af at antage den ln, naturlige logaritme, hvor basen er lig med e = 2.718. Ud over den givne base kunne den lognormale fordeling foretages ved hjælp af en anden base, som efterfølgende ville påvirke formen på den lognormale fordeling.
- Den lognormale fordeling tegner log over normalfordelede tilfældige variabler fra normalfordelingskurverne. Ln, den naturlige log er kendt e, eksponent, som en base skal hæves for at få den ønskede tilfældige variabel x, som kunne findes på normalfordelingskurven.
