Formel til beregning af normal normalfordeling
Standard normalfordeling er en type sandsynlighedsfordeling, der er symmetrisk omkring gennemsnittet eller gennemsnittet, der viser, at dataene nær gennemsnittet eller gennemsnittet forekommer oftere sammenlignet med de data, der er langt fra gennemsnittet eller gennemsnittet. En score på den normale normalfordeling kan betegnes som "Z-score".
Standard normalfordelingsformel er repræsenteret som nedenfor -
Z - Score = (X - µ) / σ
Hvor,
- X er en normal tilfældig variabel
- µ er gennemsnittet eller middelværdien
- σ er standardafvigelsen
Så er vi nødt til at udlede sandsynligheden fra ovenstående tabel.
Forklaring
Standardnormalfordelingen i ord, der kaldes Z-distributionen, har følgende egenskaber:
- Det har et gennemsnit eller siger middelværdien af nul.
- Den har en standardafvigelse, der er lig med 1.
Ved hjælp af standardtabellen kan vi finde ud af områderne under densitetskurven. Z-score er øm på standardnormalfordelingen og skal fortolkes som antallet af standardafvigelser, hvor datapunktet er under eller over gennemsnittet eller gennemsnittet.
En negativ Z-score skal angive en score, der er under gennemsnittet eller gennemsnittet, mens en positiv Z-score skal indikere, at datapunktet er over gennemsnittet eller gennemsnittet.
Standardnormalfordelingen følger 68-95-99.70-reglen, som også kaldes den empiriske regel, og ifølge denne skal otteogtres procent af de givne data eller værdierne falde inden for 1 standardafvigelse af gennemsnittet eller middelværdien, mens femoghalvfems procent skal falde inden for 2 standardafvigelser, og endelig skal de ni og halvfems decimal syv procent af værdien eller dataene falde inden for 3 standardafvigelser af gennemsnittet eller af gennemsnittet.
Eksempler
Eksempel nr. 1
Overvej det gennemsnit, der er givet dig som 850, standardafvigelse som 100. Du skal beregne standard normalfordeling for en score over 940.
Løsning:
Brug følgende data til beregning af standardnormalfordeling.
Så beregningen af z-score kan gøres som følger-
Z - score = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Z-score vil være -
Z-score = 0,90
Brug nu ovenstående tabel over standardnormalfordelingen, og vi har en værdi på 0,90 som 0,8159, og vi skal beregne scoren over det, der er P (Z> 0,90).
Vi har brug for den rigtige vej til bordet. Derfor vil sandsynligheden være 1 - 0,8159, hvilket er lig med 0,1841.
Således ligger kun 18,41% af scorerne over 940.
Eksempel 2
Sunita tager private undervisningskurser for matematikfag, og i øjeblikket har hun omkring 100 studerende tilmeldt sig. Efter 1 st test hun tog for sine elever, hun fik følgende gennemsnitlige tal, scoret af dem, og har rangeret dem percentil-wise.
Løsning:
Først plotter vi det, vi målretter mod, hvilket er den venstre side af helbredelsen. P (Z <75).
Brug følgende data til beregning af standardnormalfordeling.
Til det skal vi først beregne middelværdien og standardafvigelsen.
Beregningen af gennemsnit kan gøres som følger-
Gennemsnit = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Middelværdi = 73,50
Beregningen af standardafvigelse kan gøres som følger-
Standardafvigelse = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Standardafvigelse = 16,38
Så beregningen af z-score kan gøres som følger-
Z - score = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Z-score vil være -
Z-score = 0,09
Brug nu ovenstående tabel over en standard normalfordeling, har vi værdi for 0,09 som 0,5359, og det er værdien for P (Z <0,09).
Derfor scorede 53,59% af de studerende under 75.
Eksempel 3
Vista limited er et showroom for elektronisk udstyr. Det ønsker at analysere sin forbrugeradfærd. Det har omkring 10.000 kunder rundt omkring i byen. I gennemsnit bruger kunden 25.000, når det kommer til sin butik. Imidlertid varierer udgifterne betydeligt, da kunderne bruger fra 22.000 til 30.000, og gennemsnittet af denne afvigelse omkring 10.000 kunder, som ledelsen af vista limited har kommet op på, er omkring 500.
Ledelsen af Vista limited har henvendt sig til dig, og de er interesserede i at vide, hvor stor en andel af deres kunder bruger mere end 26.000? Antag, at kundens forbrugstal normalt fordeles.
Løsning:
Først plotter vi det, vi målretter mod, hvilket er den venstre side af helbredelsen. P (Z> 26000).
Brug følgende data til beregning af standardnormalfordeling.
Beregningen af z-score kan gøres som følger-
Z - score = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Z-score vil være-
Z-score = 2
Beregningen af standardnormalfordeling kan foretages som følger-
Standard normalfordeling vil være-
Brug nu ovenstående tabel over standardnormalfordelingen, vi har en værdi på 2,00, som er 0,9772, og nu skal vi beregne for P (Z> 2).
Vi har brug for den rigtige vej til bordet. Derfor er sandsynligheden 1 - 0,9772, hvilket er lig med 0,0228.
Derfor bruger 2,28% af forbrugerne over 26.000.
Relevans og anvendelse
For at træffe en informeret og en ordentlig beslutning skal man konvertere alle scores til en lignende skala. Man har brug for at standardisere disse scores, konvertere dem alle til standardnormalfordelingen ved hjælp af Z-scoremetoden med en enkelt standardafvigelse og et enkelt gennemsnit eller middelværdien. Dette bruges hovedsagelig inden for statistikområdet og også inden for finansiering, som også forhandlere.
Mange statistiske teorier har forsøgt at modellere priserne på aktivet (inden for finansieringsområder) under den vigtigste antagelse om, at de skal følge denne form for normalfordeling. Prisfordelinger har for det meste en tendens til at have federe haler og har derfor kurtose, som er større end 3 i virkelige scenarier. Sådanne aktiver er observeret at have prisbevægelser, der er større end 3 standardafvigelser ud over gennemsnittet eller gennemsnittet og oftere end den forventede antagelse i en normalfordeling.
