Eulers Totient-funktion - Betydning, eksempler, hvordan man beregner?

Hvad er Eulers Totient-funktion?

Eulers Totient-funktion er de matematiske multiplikative funktioner, der tæller de positive heltal op til det givne heltal, der almindeligvis kaldes 'n', der er et primtal til 'n', og funktionen bruges til at kende antallet af primtal, der findes op til givet heltal 'n'.

Forklaring

At vide, hvor mange primtal der kommer op til det givne heltal 'n' Eulers Totient-funktion bruges. Det kaldes også en aritmetisk funktion. For en applikation eller brug af Eulers Totient-funktion er to ting vigtige. Den ene er, at gcd dannet af det givne heltal 'n' skal være multiplikativ med hinanden, og den anden er, at antallet af gcd kun skal være primtalene. Heltallet 'n' i dette tilfælde skal være mere end 1. Fra et negativt heltal er det ikke muligt at beregne Eulers Totient-funktion. Princippet er i dette tilfælde, at for ϕ (n) skal multiplikatorerne kaldet m og n være større end 1. Derfor betegnet med 1

Historie

Euler introducerede denne funktion i 1763. Oprindeligt brugte Euler det græske π til betegnelse af funktionen, men på grund af nogle problemer fik hans betegnelse af græsk π ikke anerkendelsen. Og han undlod at give det det rigtige notationstegn, dvs. ϕ. Derfor kan funktionen ikke introduceres. Yderligere blev taken taget fra Gauss's 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Funktionen betegnes også som phi-funktion. Men JJ Sylvester inkluderede i 1879 udtrykket totient for denne funktion på grund af egenskaber og anvendelsen af ​​funktionerne. De forskellige regler er indrammet til at håndtere forskellige slags heltal givet som hvis heltal p er et primtal, så hvilken regel der skal anvendes osv. Alle regler er indrammet af Euler er praktiske og kan bruges selv i dag, mens man beskæftiger sig med samme.

Egenskaber ved Eulers Totient-funktion

Der er nogle af de forskellige egenskaber. Nogle af egenskaberne ved Eulers totientfunktion er som under:

  • Φ er det symbol, der bruges til at betegne funktionen.
  • Funktionen beskæftiger sig med primtalernes teori.
  • Funktionen kan kun anvendes i tilfælde af positive heltal.
  • For ϕ (n) findes to multiplikative primtal for at beregne funktionen.
  • Funktionen er en matematisk funktion og nyttig på mange måder.
  • Hvis heltal 'n' er et primtal, så er gcd (m, n) = 1.
  • Funktionen fungerer på formlen 1 <m <n hvor m og n er primtal og multiplikative tal.
  • Generelt er ligningen
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funktionen tæller grundlæggende antallet af positive heltal mindre end det givne heltal, hvilket er relativt primtal til det givne heltal.
  • Hvis det givne heltal er p, er prime (p) = p - 1
  • Hvis effekten af ​​p er primær, så hvis a = p n er en primæreffekt, så er ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) er ikke en - en
  • ϕ (n) er ikke på.
  • ϕ (n), n> 3 er altid jævn.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Beregn Eulers Totient-funktion

Eksempel nr. 1

Beregn ϕ (7)?

Løsning:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Da alle tal er primære til 7, blev det derfor let at beregne ϕ.

Eksempel 2

Beregn ϕ (100)?

Løsning:

Da 100 er stort tal, er det derfor tidskrævende at beregne fra 1 til 100 de primtal, der er primtal med 100. Derfor anvender vi nedenstående formel:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Eksempel 3

Beregn ϕ (240)?

Multipler på 240 er 16 * 5 * 3 dvs. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

hvis n M ikke er primtal, bruger vi n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Eksempel 4

Beregn ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Ansøgninger

De forskellige applikationer er som under:

  • Funktionen bruges til at definere RSA-krypteringssystem, der bruges til kryptering af internetsikkerhed.
  • Anvendes i teori om primtal.
  • Anvendes også i store beregninger.
  • Anvendes i anvendelser af elementær talteori.

Konklusion

Eulers totient-funktion er nyttig på mange måder. Det bruges i RSA-krypteringssystemet, som bruges til sikkerhedsformål. Funktionen beskæftiger sig med primtal-teorien, og den er også nyttig i beregningen af ​​store beregninger. Funktionen bruges også til algebraiske beregninger og elementære tal. Symbolet, der bruges til at betegne funktionen, er ϕ, og det kaldes også en phi-funktion. Funktionen består af mere teoretisk brug snarere end praktisk anvendelse. Den praktiske brug af funktionen er begrænset. Funktionen kan bedre forstås gennem de forskellige praktiske eksempler snarere end kun teoretiske forklaringer. Der er forskellige regler til beregning af Eulers totientfunktion, og for forskellige tal skal forskellige regler anvendes. Funktionen blev først introduceret i 1763, men på grund af nogle problemer,den fik anerkendelse i 1784, og navnet blev ændret i 1879. Funktionen er en universel funktion og kan anvendes overalt.

Interessante artikler...