Formel til beregning af studerendes T-fordeling
Formlen til beregning af T-fordeling (som også populært kaldes Studentens T-fordeling) vises som at trække populationsgennemsnittet (middelværdi af anden prøve) fra prøvegennemsnittet (gennemsnit af første prøve), der er (x̄ - μ), som derefter er divideret med standardafvigelsen for midler, der oprindeligt divideres med kvadratroden af n, som er antallet af enheder i den prøve (s ÷ √ (n)).
T-fordelingen er en slags fordeling, der næsten ligner den normale distributionskurve eller klokkekurve, men med lidt federe og kortere hale. Når stikprøvestørrelsen er lille, bruges denne fordeling i stedet for normalfordelingen.
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
Hvor,
- x̄ er middelværdien af prøven
- μ er befolkningens gennemsnit
- s er standardafvigelsen
- n er størrelsen på den givne prøve
Beregning af T-distribution
Beregningen af elevers t-fordeling er ret enkel, men ja, værdierne kræves. For eksempel har man brug for populationsgennemsnittet, som er universets middelværdi, hvilket ikke er andet end gennemsnittet af befolkningen, mens stikprøvegenomsnitt er påkrævet for at teste ægtheden af befolkningen betyder, om udsagnet, der hævdes på baggrund af befolkning, faktisk er sandt og prøve, hvis nogen taget, repræsenterer den samme erklæring. Så t-fordelingsformlen her subtraherer middelprøven fra populationen og deler den derefter med standardafvigelse og ganger med kvadratroden af stikprøvestørrelsen for at standardisere værdien.
Da der ikke er noget interval for t-fordelingsberegning, kan værdien gå underligt, og vi vil ikke være i stand til at beregne sandsynligheden, da elevers t-distribution har begrænsninger for at nå frem til en værdi, og derfor er den kun nyttig til mindre stikprøvestørrelse . For at beregne sandsynligheden efter ankomsten til en score skal man også finde værdien af den fra den studerendes t-distributionstabel.
Eksempler
Eksempel nr. 1
Overvej følgende variabler er givet til dig:
- Befolkningens gennemsnit = 310
- Standardafvigelse = 50
- Størrelsen på prøven = 16
- Eksempel middelværdi = 290
Beregn t-fordelingsværdien.
Løsning:
Brug følgende data til beregning af T-fordeling.
Så beregningen af T-fordelingen kan gøres som følger-
Her er alle værdier angivet. Vi skal bare indarbejde værdierne.
Vi kan bruge t-fordelingsformlen
Værdien af t = (290 - 310) / (50 / √16)
T-værdi = -1,60
Eksempel 2
SRH-firma hævder, at dets ansatte på analytikerniveau tjener i gennemsnit $ 500 pr. Time. Der vælges en prøve på 30 ansatte på analytikerniveau, og deres gennemsnitlige indtjening pr. Time var $ 450 med en prøveafvigelse på $ 30. Og forudsat at deres påstand er sand, skal du beregne t -fordelingsværdien, som skal bruges til at finde sandsynligheden for t - fordeling.
Løsning:
Brug følgende data til beregning af T-fordeling.
Så beregningen af T-fordelingen kan gøres som følger-
Her er alle værdier angivet; vi skal bare indarbejde værdierne.
Vi kan bruge t-fordelingsformlen
Værdi af t = (450 - 500) / (30 / √30)
T-værdi = -9,13
Derfor er værdien for t score -9,13
Eksempel 3
Universal college board havde administreret en IQ-test til 50 tilfældigt udvalgte professorer. Og resultatet, de fandt ud af, var, at den gennemsnitlige IQ-niveau score var 120 med en varians på 121. Antag, at t-score er 2.407. Hvad er befolkningens gennemsnit for denne test, som vil retfærdiggøre t-værdien som 2.407?
Løsning:
Brug følgende data til beregning af T-fordeling.
Her er alle værdierne givet sammen med t-værdien; vi er nødt til at beregne befolkningens gennemsnit i stedet for t-værdi denne gang.
Igen vil vi bruge de tilgængelige data og beregne befolkningens middel ved at indsætte værdierne i nedenstående formel.
Prøveværdien er 120, populationens middel er ukendt, prøveudfaldets standardafvigelse vil være kvadratroden af variansen, som ville være 11, og prøveens størrelse er 50.
Så beregningen af befolkningens gennemsnit (μ) kan gøres som følger-
Vi kan bruge t-fordelingsformlen.
Værdien af t = (120 - μ) / (11 / √50)
2.407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Befolkningens gennemsnit (μ) vil være -
μ = 116,26
Derfor vil værdien for befolkningens gennemsnit være 116,26
Relevans og anvendelse
T-fordelingen (og de tilknyttede t-værdier) bruges i hypotesetest, når man skal finde ud af, om man skal afvise eller acceptere nulhypotesen.
I ovenstående graf vil det centrale område være acceptområdet, og halenområdet vil være afvisningsområdet. I denne graf, som er en test med to haler, vil den blå skraverede være afvisningsregionen. Området i haleområdet kan beskrives enten med t-scores eller med z-scores. Tag et eksempel; billedet til venstre viser et område i halerne på fem procent (hvilket er 2,5% på begge sider). Z-score skal være 1,96 (tager værdien fra z-tabellen), hvilket skal repræsentere de 1,96 standardafvigelser fra gennemsnittet eller gennemsnittet. Nulhypotesen kan afvises, hvis værdien af z-score er mindre end værdien af -1,96, eller værdien af z-score er større end 1,96.
Generelt skal denne fordeling bruges som beskrevet tidligere, når man har en mindre stikprøvestørrelse (for det meste under 30), eller hvis man ikke ved, hvad populationsvariansen eller populationsstandardafvigelsen er. Til praktiske formål (det er i den virkelige verden) ville dette stort set altid være tilfældet. Hvis størrelsen på den prøve, der leveres, er stor nok, vil de 2 distributioner være næsten ens.
