Hvad er Bootstrapping Yield Curve?
Bootstrapping er en metode til at konstruere en rentekurve med nul-kupon. Følgende eksempler på bootstrapping giver et overblik over, hvordan en rentekurve er konstrueret. Selvom ikke alle variationer kan forklares, da der er mange metoder til bootstrapping på grund af forskelle i anvendte konventioner.
Top 3 eksempler på Bootstrapping Yield Curve i Excel
Følgende er eksempler på bootstrapping afkastkurve i excel.
Eksempel nr. 1
Overvej forskellige obligationer med en pålydende værdi på $ 100, hvor udbyttet til løbetid er lig med kuponrenten. Kupondetaljerne er som nedenfor:
| Modenhed | 0,5 år | 1 år | 1,5 år | 2 år |
| Udbytte til modenhed | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Løsning:
Nu modtager den for en nulkupon med en løbetid på 6 måneder en enkelt kupon svarende til obligationsrenten. Derfor vil spotrenten for 6-måneders nulkuponobligationen være 3%.
For en 1-årig obligation er der to pengestrømme, 6 måneder og 1 år.
Pengestrømmen efter 6 måneder vil være (3,5% / 2 * 100 = $ 1,75), og pengestrøm ved 1 år vil være (100 + 1,75 = $ 101,75), dvs. hovedbetalingen plus kuponbetalingen.
Fra 0,5-årig løbetid er spotrenten eller diskonteringsrenten 3%, og lad os antage, at diskonteringsrenten for 1-årig løbetid er x%, så
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1.0353
- 1 + x% / 2 = (1.0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1.0175
- x% = (1.0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Løsning af ovenstående ligning får vi x = 3,504%
Nu igen med en løbetid på 2 år,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2.955665025 + 2.897579405 + 2.805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8.658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91.3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91.3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1.127635858
- (1 + x / 2) = 1.127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1.030486293
- x = 1.030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Løsning for x får vi, x = 6,097%
Tilsvarende for en løbetid på 1,5 år
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Løsning af ovenstående ligning får vi x = 4,526%
Således vil de bootstrapped nul-udbyttekurver være:
| Modenhed | Nul priser |
| 0,5 år | 3% |
| 1 år | 3,50% |
| 1,5 år | 4,53% |
| 2 år | 6,10% |
Eksempel 2
Lad os overveje et sæt nulkuponobligationer med pålydende værdi $ 100 med løbetid 6 måneder, 9 måneder og 1 år. Obligationerne er nul-kupon, dvs. de betaler ikke nogen kupon i løbet af løbetiden. Priserne på obligationer er som følger:
| Modenhed | Pris ($) | |
| Måneder | 6 | 99 |
| Måneder | 9 | 98,5 |
| År | 1 | 97,35 |
Løsning:
I betragtning af en lineær satskonvention
FV = Pris * (1+ r * t)Hvor r er nulkuponrenten, er t tiden
I 6-måneders ansættelse:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
I 9-måneders ansættelse:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
I 1-årig periode:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12 )
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Derfor er bootstrapped rente med nulkuponrente:
| Modenhed | Nul kupon (priser) |
| 6 måneder | 2,02% |
| 9 måneder | 2,03% |
| 1 år | 2,72% |
Bemærk, at forskellen mellem det første og det andet eksempel er, at vi har betragtet nulkuponrenten som lineær i eksempel 2, mens de sammensættes i eksempel 1.
Eksempel 3
Selvom dette ikke er et direkte eksempel på en bootstrapping-rentekurve, er det undertiden nødvendigt at finde frekvensen mellem to løbetider. Overvej nulrentekurven for de følgende løbetider.
| Modenhed | Nul kupon (priser) |
| 6 | 2,50% |
| 1 år | 3,50% |
| 3 år | 5% |
| 4 år | 5,50% |
Nu, hvis man har brug for nulkuponrenten for 2-årig løbetid, skal han lineært interpolere nulsatserne mellem 1 år og 3 år.
Løsning:
Beregning af nulkupon diskonteringsrente i 2 år -
Nulkuponrente i 2 år = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2- 1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Nulkuponrate i 2 år = 4,25%
Derfor er den nulkupon-diskonteringssats, der skal bruges til den 2-årige obligation, være 4,25%
Konklusion
Bootstrap-eksemplerne giver et indblik i, hvordan nulsatser beregnes for prisfastsættelsen af obligationer og andre finansielle produkter. Man skal korrekt se på markedskonventionerne for korrekt beregning af nulsatserne.
