Formel til beregning af Z-score
Z-score af rådata refererer til den score, der genereres ved at måle, hvor mange standardafvigelser, der er over eller under befolkningens gennemsnit, er dataene, hvilket hjælper med at teste den hypotese, der overvejes. Med andre ord er det afstanden fra et datapunkt til populationens gennemsnit, der udtrykkes som et multiplum af standardafvigelsen.
- Z-score varierer i området fra -3 gange standardafvigelsen (langt til venstre for normalfordelingen) til +3 gange standardafvigelsen (yderst til højre for normalfordelingen).
- Z-scores har et gennemsnit på 0 og en standardafvigelse på 1.
Ligningen for z-score for et datapunkt beregnes ved at trække populationsgennemsnittet fra datapunktet (kaldet x ), og derefter divideres resultatet med populationsstandardafvigelsen. Matematisk er det repræsenteret som,
Z-score = (x - μ) / ơ
hvor
- x = Datapunkt
- μ = middelværdi
- ơ = standardafvigelse
Beregning af Z-score (trin for trin)
Ligningen for z-score for et datapunkt kan udledes ved hjælp af følgende trin:
- Trin 1: For det første bestemme middelværdien af datasættet baseret på datapunkter eller observationer, som er betegnet med x i , mens det samlede antal datapunkter i datasættet er betegnet med N.
- Trin 2: Dernæst skal du bestemme standardafvigelsen for befolkningen på basis af populationsgennemsnittet μ, datapunkter x i og antallet af datapunkter i populationen N.
- Trin 3: Endelig afledes z-score ved at trække gennemsnittet fra datapunktet, og derefter divideres resultatet med standardafvigelsen som vist nedenfor.
Eksempler
Eksempel nr. 1
Lad os tage eksemplet med en klasse på 50 studerende, der har skrevet videnskabstesten i sidste uge. I dag er resultatdagen, og klasselæreren fortalte mig, at John scorede 93 i testen, mens klassens gennemsnitlige score var 68. Bestem z-score for Johns testmærke, hvis standardafvigelsen er 13.
Løsning:
Givet,
- Johns testscore, x = 93
- Gennemsnit, μ = 68
- Standardafvigelse, ơ = 13
Derfor kan z-score for Johns testscore beregnes ved hjælp af ovenstående formel som,
Z = (93 - 68) / 13
Z-score vil være -
Z-score = 1,92
Derfor er Johns Ztest-score 1,92 standardafvigelse over klassens gennemsnitlige score, hvilket betyder, at 97,26% af klassen (49 studerende) scorede mindre end John.
Eksempel 2
Lad os tage et andet detaljeret eksempel på 30 studerende (da z-test ikke er passende for mindre end 30 datapunkter), der kom til en klassetest. Bestemme z-test score for 4 th studerende af baseret på mærkerne scoret af de studerende ud af 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Løsning:
Givet,
- x = 65,
- 4 th elev scorede = 65,
- Antal datapunkter, N = 30.
Gennemsnit = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Middelværdi = 71,30
Nu kan standardafvigelsen beregnes ved hjælp af formlen som vist nedenfor,
ơ = 13,44
Derfor, Z-score i 4 th kan studerende beregnes ved hjælp af ovenstående formel som,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Derfor 4 th studerendes score er 0,47 standardafvigelse under den gennemsnitlige score af klassen, som betyder, at 31,92% af klassen (10 elever) modtog mindre end 4 th studerende som pr z- score bordet.
Z-score i Excel (med Excel-skabelon)
Lad os nu tage den sag, der er nævnt i eksempel 2, for at illustrere begrebet z-score i excel-skabelonen nedenfor.
Nedenfor gives data til beregning af Z-score.
Du kan henvise til det givne excelark nedenfor for en detaljeret beregning af Z Score Formula Test Statistics.
Relevans og anvendelser
Fra et hypotesetestperspektiv er z-score et meget vigtigt begreb at forstå, fordi det bruges til at teste, om en teststatistik falder inden for det acceptable værdiområde. Z-score bruges også til at standardisere data inden analyse, beregne sandsynligheden for en score eller sammenligning af to eller flere datapunkter, som er fra forskellige normale fordelinger. Der er en forskellig anvendelse af z-score på tværs af felter, hvis de anvendes korrekt.
