Normalfordelingsformel
Normalfordeling er en symmetrisk fordeling, dvs. positive værdier og fordelingenes negative værdier kan opdeles i lige store halvdele, og derfor vil middelværdien, medianen og tilstanden være ens. Den har to haler, den ene er kendt som højre hale, og den anden er kendt som den venstre hale.
Formlen for beregningen kan repræsenteres som
X ~ N (µ, α)
Hvor
- N = antal observationer
- µ = gennemsnit af observationer
- α = standardafvigelse
I de fleste tilfælde afslører observationer ikke meget i sin rå form. Så det er vigtigt at standardisere observationer for at kunne sammenligne det. Det gøres ved hjælp af formlen z-score. Det er nødvendigt at beregne Z-score for en observation.
Ligningen for Z-beregning af den normale fordeling er vist som følger,
Z = (X- µ) / a
Hvor
- Z = Z-score for observationerne
- µ = gennemsnit af observationer
- α = standardafvigelse
Forklaring
En fordeling er normal, når den følger en klokkekurve. Det er kendt som klokkekurven, da det tager form af klokken. En af de vigtigste egenskaber ved en normal kurve er, den er symmetrisk, hvilket betyder, at de positive værdier og de negative værdier af fordelingen kan opdeles i lige store halvdele. Et andet væsentligt kendetegn ved det variable væsen er, at observationerne vil være inden for 1 standardafvigelse fra gennemsnittet 90% af tiden. Observationerne vil være to standardafvigelser fra gennemsnittet 95% af tiden, og det vil være inden for tre standardafvigelser fra gennemsnittet 99% af tiden.
Eksempler
Eksempel nr. 1
Gennemsnittet af vægten for en klasse elever er 65 kg, og vægtenes standard er 0,5 kg. Hvis vi antager, at fordelingen af afkastet er normal, så lad os fortolke for vægten af de studerende i klassen .
Når en distribution er normal, ligger 68% af den inden for 1 standardafvigelse, 95% ligger inden for 2 standardafvigelser, og 99% ligger med 3 standardafvigelser.
Givet,
- Det gennemsnitlige afkast for vægten er 65 kg
- Standardafvigelsen vil være 3,5 kg
Så 68% af tiden vil fordelingsværdien være i området som nedenfor,
- Øvre rækkevidde = 65 + 3,5 = 68,5
- Nedre rækkevidde = 65-3,5 = 61,5
- Hver hale vil (68% / 2) = 34%
Eksempel 2
Lad os fortsætte med det samme eksempel. Gennemsnittet af vægten af en studerendes klasse er 65 kg, og vægtenes standard er 3,5 kg. Hvis vi antager, at fordelingen af afkastet er normal, så lad os fortolke det for vægten af de studerende i klassen.
Givet,
- Det gennemsnitlige afkast for vægten er 65 kg
- Standardafvigelsen vil være 3,5 kg
Så 95% af tiden vil fordelingsværdien være i området som nedenfor,
- Øvre rækkevidde = 65 + (3,5 * 2) = 72
- Nedre rækkevidde = 65- (3,5 * 2) = 58
- Hver hale vil (95% / 2) = 47,5%
Eksempel 3
Lad os fortsætte med det samme eksempel. Gennemsnittet af vægten af en studerendes klasse er 65 kg, og vægtenes standard er 3,5 kg. Hvis vi antager, at fordelingen af afkastet er normal, så lad os fortolke det for vægten af de studerende i klassen.
Givet,
- Det gennemsnitlige afkast for vægten er 65 kg
- Standardafvigelsen vil være 3,5 kg
Så 99% af tiden vil fordelingsværdien være i området som nedenfor,
- Øvre rækkevidde = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
- Nedre rækkevidde = 65- (3,5 * 3) = 54,5
- Hver hale vil (99% / 2) = 49,5%
Relevans og anvendelse
Normalfordelingen er et vigtigt statistisk begreb, da de fleste tilfældige variabler inden for økonomi følger en sådan kurve. Det spiller en vigtig rolle i konstruktionen af porteføljer. Bortset fra økonomi viser det sig, at mange virkelige parametre følger en sådan fordeling. Som for eksempel, hvis vi forsøger at finde elevernes højde i en klasse eller vægten af eleverne i en klasse, fordeles observationerne normalt. Ligeledes følger karaktererne for en eksamen den samme fordeling. Det hjælper med at normalisere karakterer i en eksamen, hvis de fleste studerende scorer under de beståede karakterer ved at sætte en grænse for kun at sige, at de ikke bestod, der scorede under to standardafvigelser.
