Formel til beregning af binomialfordeling
Binomialfordelingsformel bruges til at beregne sandsynligheden for at få x succeser i n forsøg med binomiale eksperiment, som er uafhængige, og sandsynligheden er afledt af kombinationen mellem antallet af forsøgene og antallet af succeser repræsenteret af nCx ganges med sandsynligheden for den hævede succes til magten af antallet af succeser repræsenteret af px, som yderligere ganges med sandsynligheden for den fejl, der hæves til magten for forskellen mellem antal succes og antallet af forsøg repræsenteret af (1-p) nx.
Sandsynligheden for at opnå x-succes i n uafhængige forsøg med et binomialeksperiment er givet ved følgende formel for binomialfordeling:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
hvor p er sandsynligheden for succes
I ovenstående ligning anvendes n C x , hvilket kun er en kombinationsformel. Formlen til beregning af kombinationer er givet som n C x = n! / x! (nx)! hvor n repræsenterer antallet af emner (uafhængige forsøg), og x repræsenterer antallet af emner, der vælges ad gangen (succeser).
Hvis n = 1 i en binomialfordeling, er fordelingen kendt som Bernoulli-distribution. Gennemsnittet af en binomialfordeling er np. Variationen af binomialfordelingen er np (1-p).
Beregning af binomialfordeling (trin for trin)
Beregningen af binomialfordeling kan udledes ved hjælp af følgende fire enkle trin:
- Trin 1: Beregn kombinationen mellem antallet af forsøg og antallet af succeser. Formlen for n C x er hvor n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. For et tal n kan faktoren for n skrives som n! = n * (n-1)! For eksempel 5! er 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Trin 2: Beregn sandsynligheden for succes hævet til antallet af succeser, der er p x .
- Trin 3: Beregn sandsynligheden for fiasko, der er hævet i kraft af forskellen mellem antallet af succeser og antallet af forsøg. Sandsynligheden for fiasko er 1-p. Dette refererer således til opnåelse af (1-p) nx
- Trin 4: Find ud af produktet af resultaterne opnået i trin 1, trin 2 og trin 3.
Eksempler
Eksempel nr. 1
Antallet af forsøg (n) er 10. Sandsynligheden for succes (p) er 0,5. Foretag beregningen af binomialfordeling for at beregne sandsynligheden for at få nøjagtigt seks succeser.
Løsning:
Brug følgende data til beregning af binomialfordeling.
Beregning af binomialfordeling kan gøres som følger,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Sandsynligheden for at få nøjagtigt 6 succeser vil være-
P (x = 6) = 0,2051
Sandsynligheden for at få nøjagtigt 6 succeser er 0,2051
Eksempel 2
En leder af et forsikringsselskab gennemgår dataene om forsikringer, der sælges af forsikringssælgere, der arbejder under ham. Han finder ud af, at 80% af de mennesker, der køber bilforsikring, er mænd. Han ønsker at finde ud af, at hvis 8 bilforsikringsejere vælges tilfældigt, hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt 5 af dem er mænd.
Løsning: Vi skal først finde ud af, hvad der er n, p og x.
Beregning af binomialfordeling kan gøres som følger,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) 3
= 56 * 0,33268 * 0,008
Sandsynligheden for nøjagtigt 5 succeser vil være-
P (x = 5) = 0,14680064
Sandsynligheden for, at nøjagtigt 5 bilforsikringsejere er mænd, er 0.14680064.
Eksempel 3
Hospitalsledelse er begejstrede for introduktionen af et nyt lægemiddel til behandling af kræftpatienter, da chancen for, at en person bliver behandlet med succes, er meget høj. Sandsynligheden for, at en patient bliver behandlet med succes med lægemidlet, er 0,8. Lægemidlet gives til 10 patienter. Find sandsynligheden for, at 9 eller flere patienter bliver behandlet med succes.
Løsning: Vi skal først finde ud af, hvad der er n, p og x.
Vi er nødt til at finde sandsynligheden for, at 9 eller flere patienter bliver behandlet med succes. Således behandles enten 9 eller 10 patienter med succes med det
x (et tal, som du skal finde sandsynligheden for) = 9 eller x = 10
Vi er nødt til at finde P (9) og P (10)
Beregning af binomialfordeling for at finde P (x = 9) kan gøres som følger,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Sandsynligheden for 9 patienter vil være-
P (x = 9) = 0,2684
Beregning af binomialfordeling for at finde P (x = 10) kan gøres som følger,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Sandsynligheden for 10 patienter vil være-
P (x = 10) = 0,1074
Derfor er P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Sandsynligheden for, at 9 eller flere patienter bliver behandlet af lægemidlet, er således 0,375809638.
Binomial Distribution Calculator
Du kan bruge følgende binomialfordelingsberegner.
| n | |
| s | |
| x | |
| Binomialfordelingsformel = | |
| Binomialfordelingsformel = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevans og anvendelse
- Der er kun to resultater
- Sandsynligheden for hvert resultat forbliver konstant fra forsøg til forsøg
- Der er et fast antal forsøg
- Hver retssag er uafhængig, dvs. gensidigt eksklusiv for andre
- Det giver os frekvensfordelingen af det mulige antal vellykkede resultater i et givet antal forsøg, hvor hver af disse givne forsøg har samme sandsynlighed for succes.
- Hvert forsøg i et binomiale eksperiment kan resultere i kun to mulige resultater. Derfor er navnet 'binomial'. Et af disse resultater er kendt som succes og det andet som en fiasko. For eksempel kan folk, der er syge, reagere på en behandling eller ej.
- Tilsvarende, når vi kaster en mønt, kan vi kun have to typer resultater: hoveder eller haler. Binomialfordelingen er en diskret distribution, der anvendes i statistikker, som er forskellig fra en kontinuerlig distribution.
Et eksempel på et binomiale eksperiment er at kaste en mønt, siger tre gange. Når vi vender en mønt, er kun to resultater mulige - hoveder og haler. Sandsynligheden for hvert resultat er 0,5. Da mønten kastes tre gange, er antallet af forsøg fast, det vil sige 3. Sandsynligheden for hvert kast er ikke påvirket af andre kast.
Binomial distribution finder sine anvendelser i samfundsvidenskabelige statistikker. Det bruges til at udvikle modeller til dikotome resultatvariabler, hvor der er to resultater. Et eksempel på dette er, om republikanere eller demokrater ville vinde valget.
Binomial Distribution Formula i Excel (med excel-skabelon)
Saurabh lærte om binomialfordelingsligningen i skolen. Han vil diskutere konceptet med sin søster og have et væddemål med hende. Han troede, at han ville kaste en upartisk mønt ti gange. Han ønsker at satse $ 100 på at få nøjagtigt fem haler på 10 kast. Til dette væddemål ønsker han at beregne sandsynligheden for at få nøjagtigt fem haler i 10 kast.
Løsning: Vi skal først finde ud af, hvad der er n, p og x.
Der er en indbygget formel til binomial distribution er Excel, hvilket er
Det er BINOM.DIST (antal succeser, forsøg, sandsynlighed for succes, FALSK).
For dette eksempel på binomialfordelingen ville være:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) hvor celle B2 repræsenterer antallet af succeser, celle B3 repræsenterer antallet af forsøg, og celle B4 repræsenterer sandsynligheden for succes.
Derfor vil beregningen af binomial distribution være
P (x = 5) = 0,24609375
Sandsynligheden for at få nøjagtigt 5 haler i 10 kast er 0,24609375
Bemærk: FALSK i ovenstående formel angiver sandsynlighedsmassefunktionen. Det beregner sandsynligheden for, at der er nøjagtige n succeser fra n uafhængige forsøg. TRUE betegner den kumulative fordelingsfunktion. Den beregner sandsynligheden for højst x succes fra n uafhængige forsøg.
