Hvad er konveksiteten af en obligation?
En obligations konveksitet er et mål, der viser sammenhængen mellem obligationsprisen og obligationsudbyttet, dvs. ændringen i obligationens varighed på grund af en ændring i renten, som hjælper et risikostyringsværktøj til at måle og styre porteføljens eksponering for renterisiko og risiko for tab af forventning
Forklaring
Som vi ved, er obligationskursen og afkastet omvendt relateret, dvs. når renten stiger, falder prisen. Dette forhold er imidlertid ikke en lige linje, men er en konveks kurve. Konveksitet måler krumningen i dette forhold, dvs. hvordan varigheden ændres med en ændring i obligationsudbyttet.
Varigheden af en obligation er det lineære forhold mellem obligationsprisen og rentesatserne, hvor obligationsprisen falder, når renten stiger. Kort sagt betyder en højere varighed, at obligationskursen er mere følsom over for renteændringer. For en lille og pludselig ændring i obligation er rentevarighed et godt mål for obligationens prisfølsomhed. For større ændringer i udbytte er varighedsmålingen imidlertid ikke effektiv, da forholdet er ikke-lineært og er en kurve. Der er fire forskellige typer af varighedstiltag, nemlig Macaulays varighed, ændret varighed, effektiv varighed og nøglerentevarighed, som alle måler, hvor lang tid det tager, før obligationens pris betales af de interne pengestrømme. Hvad de adskiller sig fra er i, hvordan de behandler renteændringer, indlejrede obligationsoptioner og obligationsindfrielsesmuligheder. De har dogtage ikke hensyn til det ikke-lineære forhold mellem pris og udbytte.
Konveksitet måler følsomheden af obligationens varighed over for ændringer er afkast. Konveksitet er et godt mål for obligationsprisændringer med større udsving i renten. Matematisk set er konveksitet det andet derivat af formlen for ændring i obligationspriser med en ændring i renten og et første derivat af varighedsligning.
Bond konveksitetsformel
Beregning af konveksitetseksempel
For en obligation med pålydende værdi1.000 USD med en halvårlig kupon på 8,0% og et afkast på 10% og 6 år til løbetid og en nuværende kurs på 911,37 er varigheden 4,82 år, den modificerede varighed er 4,59 og beregning for konveksitet ville være:
Årlig konveksitet : halvårlig konveksitet / 4 = 26.2643 halvårlig konveksitet: 105.0573
I ovenstående eksempel kan en konveksitet på 26.2643 bruges til at forudsige prisændringen for en 1% ændring i udbyttet vil være:
Hvis den eneste ændrede varighed anvendes:
Ændring i pris = - Modificeret varighed * Ændring i udbytte
Prisændring for 1% stigning i udbytte = (- 4,59 * 1%) = -4,59%
Så prisen ville falde med 41,83
For at imødekomme den konvekse form af grafen ændres prisformlen til:
Prisændring = ( - Ændret varighed * Ændring i udbytte ) + ( 1/2 * Konveksitet * (ændring i udbytte) 2 )
Prisændring for 1% stigning i udbytte = (-4,59 * 1%) + (1/2 * 26,2643 * 1%) = -4,46%
Så prisen ville kun falde med 40,64 i stedet for 41,83
Dette viser, hvordan det forudsagte prisfald for den samme stigning i udbyttet på 1% ændres, hvis den eneste varighed bruges i modsætning til, når konveksiteten i prisudbyttekurven også justeres.
Så prisen ved en 1% stigning i udbyttet som forudsagt af modificeret varighed er 869,54, og som forudsagt ved hjælp af modificeret varighed og konveksitet af obligationen er 870,74. Denne forskel på 1,12 i prisændringen skyldes, at prisudbyttekurven ikke er lineær som antaget af varighedsformlen.
Formel for tilnærmelse af konveksitet
Som det ses i konveksitetsberegningen, kan det være ret kedeligt og langt, især hvis obligationen er langvarig og har adskillige pengestrømme. Formlen for tilnærmelse af konveksitet er som følger:
Konveksitet og risikostyring
Som det kan ses af formlen, er konveksitet en funktion af obligationsprisen, YTM (udbytte til løbetid), tid til løbetid og summen af pengestrømme. Antallet af kuponstrømme (pengestrømme) ændrer varigheden og dermed obligationens konveksitet. Varigheden af en nulobligation er lig med dens løbetid, men da der stadig eksisterer en konveks sammenhæng mellem dens pris og afkast, har nulkuponobligationer den højeste konveksitet og dens priser mest følsomme over for ændringer i afkastet.
I ovenstående graf er obligation A mere konveks end obligation B, selvom de begge har samme varighed, og dermed er obligation A mindre påvirket af renteændringer.
Konveksitet er et værktøj til risikostyring, der bruges til at definere, hvor risikabelt en obligation er, så mere obligationens konveksitet er. mere er dens prisfølsomhed over for rentebevægelser. En obligation med højere konveksitet har en større prisændring, når renten falder end en obligation med lavere konveksitet. Derfor, når to lignende obligationer vurderes for investering med lignende afkast og varighed, foretrækkes den med højere konveksitet i stabile eller faldende rentescenarier, da prisændring er større. I et faldende rentescenarie ville en højere konveksitet være bedre, da pristabet for en stigning i renten ville være mindre.
Positiv og negativ konveksitet
Konveksitet kan være positiv eller negativ. En obligation har positiv konveksitet, hvis udbyttet og obligationens varighed stiger eller falder sammen, dvs. de har en positiv sammenhæng. Rentekurven for dette bevæger sig typisk opad. Denne type er for en obligation, der ikke har en option eller en forudbetalingsmulighed. Obligationer har negativ konveksitet, når afkastet stiger, varigheden falder, dvs. der er en negativ sammenhæng mellem udbytte og varighed, og rentekurven bevæger sig nedad. Disse er typisk obligationer med købsoptioner, realkreditobligationer og de obligationer, der har en tilbagebetalingsmulighed. Hvis obligationen med forudbetaling eller call option har en præmie, der skal betales for den tidlige exit, kan konveksiteten muligvis blive positiv.
Kuponbetalingerne og periodiciteten af obligationens betalinger bidrager til obligationens konveksitet. Hvis der er flere periodiske kuponbetalinger i løbet af obligationens løbetid, er konveksiteten højere, hvilket gør den mere immun over for renterisici, da de periodiske betalinger hjælper med at negere effekten af ændringen i markedsrenterne. Hvis der er en engangsbetaling, er konveksiteten mindst, hvilket gør det til en mere risikabel investering.
Konveksitet i en obligationsportefølje
For en obligationsportefølje vil konveksiteten måle risikoen for, at alle obligationer tilsammen er det vejede gennemsnit af de enkelte obligationer uden obligationer eller markedsværdien af obligationer, der bruges som vægte.
Selvom konveksitet tager højde for den ikke-lineære form af prisudbyttekurven og tilpasser sig forudsigelsen for prisændring, er der stadig en vis fejl tilbage, da det kun er det andet derivat af prisudbytteligningen. For at få en mere nøjagtig pris for en ændring i udbyttet vil tilføjelse af det næste derivat give en pris meget tættere på den faktiske pris på obligationen. I dag med sofistikerede computermodeller, der forudsiger priser, er konveksitet mere et mål for risikoen for obligationen eller obligationsbeholdningen. Mere konveks obligationen eller obligationsporteføljen mindre risikabel; det er da prisændringen for en reduktion i renten er mindre. Så obligation, som er mere konveks, ville have et lavere afkast, da markedspriserne med lavere risiko.
Renterisiko og konveksitet
Risikomåling for en obligation indebærer en række risici. Disse inkluderer, men er ikke begrænset til:
- Markedsrisiko, der ændrer markedsrenten på en urentabel måde
- Forudbetalingsrisiko, dvs. obligationen, tilbagebetales tidligere end udløbsdatoen, hvorved pengestrømme forstyrres
- Standardrisiko, der er obligationsudstederen, betaler ikke renterne eller hovedstolen
Renterisikoen er en universel risiko for alle obligationsejere, da al stigning i renten vil reducere priserne, og alt fald i renten vil øge prisen på obligationen. Denne renterisiko måles ved modificeret varighed og forbedres yderligere af konveksitet. Konveksitet er et mål for systemisk risiko, da det måler effekten af ændring i obligationsporteføljens værdi med en større ændring i markedsrenten, mens modificeret varighed er nok til at forudsige mindre ændringer i renten.
Som tidligere nævnt er konveksitet positiv for almindelige obligationer, men for obligationer med optioner som konverterbare obligationer, realkreditobligationer (som har forudbetalingsmulighed) har obligationer negativ konveksitet til lavere renter, efterhånden som forudbetalingsrisikoen stiger. For sådanne obligationer med negativ konveksitet stiger priserne ikke markant med et fald i renten, da pengestrømme ændres på grund af forudbetaling og tidlige opkald.
Da pengestrømmen er mere spredt, øges konveksiteten, når renterisikoen øges med flere huller mellem pengestrømmene. Så konveksitet som et mål er mere nyttigt, hvis kuponerne er mere spredte og har mindre værdi. Hvis vi har en nulkuponobligation og en portefølje af nulkuponobligationer, er konveksiteten som følger:
- varigheden af nulkuponobligationen, der er lig med løbetiden (da der kun er en pengestrøm), og dens konveksitet er derfor meget høj
- mens varigheden af nulkuponobligationsporteføljen kan justeres til den for en enkelt nulkuponobligation ved at variere den nominelle og løbetidsværdien af nulkuponobligationerne i porteføljen. Imidlertid er konveksiteten i denne portefølje højere end den eneste nulkuponobligation. Dette skyldes, at pengestrømmene for obligationer i porteføljen er mere spredte end for en enkelt nulkuponobligation.
Konveksitet af obligationer med en put-option er positiv, mens en obligation med en call-option er negativ. Dette skyldes, at når en salgsoption er i pengene, så hvis markedet går ned, kan du lægge obligationen, eller hvis markedet går op, bevarer du alle pengestrømme. Dette gør konveksiteten positiv. Imidlertid vil udstederen eller en obligation med en købsoption kalde obligationen, hvis markedsrenten falder, og hvis markedsrenten stiger, vil pengestrømmen blive bevaret. På grund af den mulige ændring i pengestrømme er konveksiteten af obligationen negativ, når renten falder.
Den målte konveksitet af obligationen, når der ikke er nogen forventet ændring i fremtidige pengestrømme kaldes modificeret konveksitet. Når der forventes ændringer i de fremtidige pengestrømme, er den konveksitet, der måles, den effektive konveksitet.
Konklusion
Konveksitet opstår på grund af pris-rentekurven. Hvis markedsudbyttediagrammet var fladt, og alle prisændringer var parallelle skift, så jo mere konveks porteføljen, jo bedre ville den præstere, og der ville ikke være plads til arbitrage. Da rentegrafen er kurvet, for langfristede obligationer, er kursrentekurven imidlertid pukkelformet til at rumme den lavere konveksitet i sidstnævnte periode.
Endelig er konveksitet et mål for obligationen eller porteføljens rentefølsomhed og skal bruges til at evaluere investering ud fra investorens risikoprofil.
relaterede artikler
- Modenhedsværdi
- ABS og MBS-indeks
- Obligationspriser
- Regnskab for konvertible obligationer
